Practica in de lessen ‘rekenen-wiskunde en didactiek’ op de pabo

26-09-2018

Kennis laat zich niet kant en klaar overdragen; wie leert past nieuwe kennis in, in wat hij of zij al weet. Freudenthal (o.a. 1991) trok daar, voor het vak rekenen-wiskunde, een vrij radicale conclusie uit: leerlingen moeten de wiskunde als het ware zelf heruitvinden.

Wanneer we Freudenthal op dit punt volgen, heeft dat consequenties voor het pabo-onderwijs. Het betekent dat studenten moeten ervaren wat het betekent om zelf een stukje wiskunde opnieuw uit te vinden en ze moeten leren hoe ze leerlingen kunnen ondersteunen op zo’n ontdekkingstocht.

In dit artikel bespreken we een practicum uit het boek ‘Rekenen met verhoudingen op de basisschool’ (van Galen & Markusse, 2018). Dit boek is onlangs verschenen bij Noordhoff Uitgevers en is een bewerking van het boek ‘Breuken, procenten, kommagetallen en verhoudingen’ (van Galen e.a., 2005). De oorspronkelijke tekst is herschreven en aangevuld met beschouwingen, praktijkvoorbeelden, opdrachten en stagesuggesties, waardoor het een echt pabo-studieboek is geworden. Elk hoofdstuk opent met een practicum. Het practicum dat we hier bespreken opent het hoofdstuk over ‘heruitvinden’.

Geleid heruitvinden als kern

Freudenthal introduceerde het begrip ‘geleid heruitvinden’ - ‘guided reinvention’ in het Engels - (o.a. Freudenthal,1991). Freudenthal was vrij uitgesproken over de vraag hoe leerlingen het beste wiskundig inzicht kunnen ontwikkelen: leerlingen moeten de wiskunde als het ware zelf heruitvinden. Ons onderwijs moet zich niet richten op het kant en klaar overdragen van kennis die wiskundigen in de loop van vele eeuwen ontwikkeld hebben, want die wiskundige kennis is voor leerlingen veel te abstract. In plaats daarvan moeten we ervoor zorgen dat leerlingen zichzelf min of meer als wiskundigen gaan gedragen. Wiskundigen proberen problemen op te lossen en ontwikkelen al doende een gereedschapskist van ideeën. Op een vergelijkbare manier kunnen leerlingen via het oplossen van problemen en gesprekken daarover, zelf ook een gereedschapskist van wiskundige ideeën verwerven. Het woord ‘geleid’ in ‘geleid heruitvinden’ is hierbij cruciaal, want leerlingen hebben in hun leerproces natuurlijk van alle kanten steun nodig. Steun van de leerkracht, maar ook van hun schoolboek, want het startpunt is steeds een probleem dat tot nadenken uitnodigt.

Hoe kunnen we pabo-studenten aan het denken zetten over dit principe van geleid heruitvinden? Als voorbeeld beschrijven we hier een practicum waarin het draait om de vaste verhouding tussen de doorsnede en de omtrek van een cirkel, en dus om het getal p. Omdat de studenten p al kennen van het voortgezet onderwijs kan er niet sprake zijn van echt heruitvinden, maar de opdrachten zijn zodanig dat studenten niet simpelweg de formules voor omtrek en oppervlakte van een cirkel kunnen toepassen. Bovendien zullen veel studenten onzeker zijn over de precieze vorm van die formules.

Afbeelding 1. De practicumopdrachten bij ‘Grote en kleine cirkels’.

Practicum ‘Grote en kleine cirkels’

We beschrijven hier hoe het practicum verliep in een groep eerstejaars pabo-studenten. De opdrachten van het practicum staan beschreven in afbeelding 1, maar de docent kiest ervoor om geen schriftelijke tekst te geven en de opdrachten zelf uit te leggen. Ze heeft zelf al sets met stroken van de gegeven lengtes gemaakt. De studenten werken samen in twee- of drietallen.

Alle groepjes besluiten direct dat als de omtrek van de cirkel twee keer zo groot wordt, dat dan ook de doorsnede twee keer zo groot zal zijn. Na het opmeten van de doorsnede bij de door hen gekozen cirkel zijn de andere waarden gauw gevonden. Twee studenten geven hun redenering weer in een verhoudingstabel:

Afbeelding 2. Omtrek en doorsnede in een verhoudingstabel.

Verschillende groepjes constateren dat de omtrek steeds ongeveer 3 keer groter is dan de doorsnede, maar er is deze keer maar één groepje dat direct ziet dat het in feite om p gaat: de omtrek van een cirkel is p maal de doorsnede.

De volgende opdracht is om een grafiek te maken die het verband tussen doorsnede en omtrek laat zien. De onderlinge discussies brengen de meeste groepjes tot het maken van een staafdiagram zoals in afbeelding 3.

Afbeelding 3. Een staafdiagram van diameterstaafjes.

Afbeelding 4. De relatie tussen omtrekstrook (zwart) en diameterstrook (groen).

Een tweetal maakt een grafiek waarin de zwarte doorsnede-staafjes rechtop werden gezet en de groene omtrekstaafjes horizontaal (afbeelding 4). Met een touwtje laten ze zien dat je een rechte lijn kunt trekken tussen de hoekpunten, wat betekent dat er een evenredig verband is tussen omtrek en doorsnede.

Afbeelding 5. Een grafiek zonder de stroken.

Een ander groepje maakt in feite dezelfde grafiek, maar getekend (afbeelding 5). Wat leren ze ervan?

De belangrijke vraag is natuurlijk of zo’n practicum studenten aanzet tot nadenken over het leren van henzelf en het leren van kinderen. In het afsluitende gesprek was iedereen het erover eens dat de opdracht hen beter inzicht gaf in de relatie tussen doorsnede en omtrek en de rol van p daarbij:

Je ontdekt het zelf en dan beklijft het beter, vind ik. Bij mij in ieder geval, ik vergeet het niet.’

Ook al ging het om zaken die op zich niet nieuw waren, het moeten reconstrueren van wat je ooit geleerd had, was nuttig:

'Je moet ook heel erg je voorkennis gebruiken, zeg maar, wat je al weet. Je weet wel enigszins hoe je de omtrek van een cirkel kan berekenen en hoe je een grafiek kan maken, maar dat vergeet je gewoon heel snel. Ik wist het ook niet meer, want ik ging het googelen.’ (De student blijkt niet de formules van omtrek en oppervlakte te hebben gegoogeld, maar informatie over grafieken.) ‘Ik wist wel wat een grafiek was hoor, maar ik wist niet meer wat voor soorten je hebt en welke je kan gebruiken. U zegt wel grafieken, maar grafieken zijn heel breed, dus je kan van alles maken.’

Het concrete meten, tekenen, knippen en plakken vonden de studenten zinvol, en ook motiverend:

‘Ik werd zo nieuwsgierig toen ik binnen kwam lopen, want er lag materiaal dat ik niet ken, en dan heb ik op de een of andere manier gewoon zin om ermee te werken.’

De opdracht was bedoeld voor pabo-studenten, maar de studenten denken dat een dergelijke aanpak, met veel ruimte voor concreet proberen, ook goed zal werken bij leerlingen van de basisschool.

Practica als voorbeeld voor lessen op de basisschool

Practica zijn een manier om studenten aan het denken te zetten over leerprocessen. Ze zullen echter ook als voorbeeld fungeren voor het lesgeven. Het is goed om expliciet aandacht te besteden aan de overeenkomsten tussen de practicum les en de lessen die studenten zelf geven op hun stagescholen. Kijk na een geslaagd practicum met de studenten terug, bijvoorbeeld met vragen als: 

  • Wat was jullie rol in deze les?
  • Wat was mijn rol als docent? Hoe heb ik me opgesteld?
  • Kun je een les beschrijven op je stageschool die vergelijkbaar is met deze practicum les?

Zo'n gesprek kan leiden tot discussies over zaken als:

  • Stimuleren tot werken op een concreet niveau, bijvoorbeeld door leerlingen met concreet materiaal te laten werken, of door hen expliciet te vragen om papier te gebruiken voor schetsjes en berekeningen.
  • Samenwerken in kleine groepjes.
  • Stimuleren dat leerlingen hun oplossing presenteren met heldere argumenten en met berekeningen of tekeningen op het bord.
  • De leerkracht als gespreksleider, niet als degene die uitlegt.
  • Oplossen en bespreken van een enkel probleem kan al gauw drie kwartier of langer kosten, is die tijd goed besteed?

Tot slot

Er is een zekere kloof tussen wat door veel pabo-docenten geschetst wordt als het gewenste reken-wiskundeonderwijs en de praktijk van het reken-wiskundeonderwijs op veel scholen. Op de pabo wordt door docenten het nut van open problemen, interactief onderwijs en onderzoekend leren benadrukt, maar op de meeste basisscholen is daar slechts beperkt ruimte voor. Steeds weer is het een uitdaging om op de pabo de juiste balans te vinden tussen het ideaalbeeld en de alledaagse praktijk. Practica, zo is onze ervaring, bieden de mogelijkheid die kloof samen met studenten te onderzoeken en te bespreken. Studenten kunnen tijdens de practica zelf ervaren waarom redeneren, argumenteren en met elkaar in discussie gaan, de kern moet zijn van iedere reken-wiskundeles. Inzicht ontwikkel je niet door naar de leerkracht te luisteren, je leert het door zelf actief op onderzoek te gaan, eigen redeneringen onder woorden te brengen en daar met anderen over te praten. Dit geldt voor leerlingen die inzicht in de wiskunde moeten ontwikkelen, maar het geldt net zo goed voor pabo-studenten die inzicht moeten ontwikkelen in de reken-wiskundedidactiek.
 

Door: Annette Markusse en Frans van Galen


Literatuur

Freudenthal, H. (1991). Revisiting mathematics education: China lectures (Vol. 9). Springer Science & Business Media.

Van Galen et al, (2005) Breuken, procenten, kommagetallen en verhoudingen. Tussendoelen Annex Leerlijnen Bovenbouw basisschool. Freudenthal Instituut, Universiteit Utrecht. Wolters-Noordhoff

Galen, F. van & Markusse, M. (2018) Rekenen met verhoudingen op de basisschool. Groningen-Amsterdam: Noordhoff Uitgevers.

 

Lees ook: Column Aleid Truijens - Een lesje wiskunde...